王鹏飞

你好,线性代数

三角函数

三角函数(trig functions),大家应该都不会陌生,想到三角函数,脑子里就会出现sincostan等词语,和一系列难以记忆的公式。虽然严格来说三角函数并不属线性代数这门学科,但是它在图形学中出现的频次实在太高了,所以不得不将其在这里介绍一下(写到这时,我正在想《你好,线性代数》这门教程的名字是否合适,不过暂时就这样吧)。

一. 基本三角函数

有一个直角三角形,如下。

三角函数

三角形的三个角为A、B、C,直角边长为x和y,斜边长为l。

  1. 正弦函数(sine )

正弦函数,等于与角对应的直角边长除以斜边长,以角A为例。

sinA = xl
  1. 余弦函数(cosine)

余弦函数,等于与角相邻的直角边长除以斜边长,以角A为例。

cosA = yl
  1. 正切函数(tangent)

正切函数,等于与角对应的直角边长除以与角相邻的直角边长,以角A为例。

tanA = xy
  1. 正割函数(secant)

正割函数,与余弦函数相反,等于斜边长除以与角相邻的直角边长。

secA = lx = 1cos(A)
  1. 余割函数(cosecant)

余割函数,与正弦函数相反,等于斜边长除以与角对应的直角边长。

csc(A) = ly = 1sin(A)
  1. 余切函数(cotangent)

余切函数,与正切函数相反,等于与角相邻的直角边长除以与角对应的直角边长。

cotA = yx = 1tanA

二. 延伸公式

我们用单位圆来推导三角函数,单位圆就是半径为1的圆。如图有一个单位圆,原点为O,半径为1,有一条半径OA,A点的坐标为(x, y),OA与x轴的夹角为θ

单位圆

  1. 平方公式 我们知道勾股定理

在一个直角三角形中,两个直角边的平方和等于斜边长的平方。

所以将勾股定理带入到上图的单位圆中,得到:

χ2 + y2 = 1

因为,斜边长为1,所以有以下等式成立。

cosθ = x
sinθ = y

代入勾股定理,可以得到以下公式。

sin2(θ) + cos2(θ)  = 1

通过同样的代入方式,我们也可以得到其他平方公式。

1 + tan2(θ) = sec2(θ) 
1 + cot2(θ) = csc2(θ) 
  1. 对称公式

根据圆的对称性,有以下等式成立。

sin(-θ) = -sin(θ)
cos(-θ) = cos(θ)
tan(-θ) = -tan(θ)
sin(π2 - θ) = cos(θ)
cos(π2 - θ) = sin(θ)
tan(π2 - θ) = cot(θ)
  1. 和差公式

下面的恒等式涉及对两个角的和或差取三角函数:

三角函数和差公式

  1. 二倍角公式

下面的公式可以将二倍角转换为单倍角。

三角函数和差公式

  1. 正弦定理和余弦定理

在已知边长和角度时,求解另一个未知边长或者角度时,可以使用正弦定理和余弦定理。

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理